Capítulo 3: Hilos
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Espacio de Hilos

En capítulos anteriores, discutimos el viaje en el tiempo en términos de transiciones entre líneas mundiales, y mostramos cómo se puede usar para predecir el comportamiento de los bucles de tiempo simples. Sin embargo, para entender fenómenos más complejos, es necesario generalizar esto.

Espacio de Hilos se refiere al espacio de todas las combinaciones posibles de cosas que podrían ocurrir, hasta el más mínimo detalle de eventos incluso intrínsecamente aleatorios (como la desintegración nuclear o las interacciones cuánticas). Una sola instancia de una combinación de este tipo se conoce como hilo. Tenga en cuenta que en contextos relativistas es necesario considerar cada marco de referencia con sus propios hilos, pero eso no se tratará en este texto.

También es útil considerar los hilos de compensación; es decir, dado un vector de espacio-tiempo $\vec x$, entonces $A + \vec x$ también es un hilo. Por lo general, podemos considerar todos los hilos de desplazamiento de un hilo determinado junto con el primer hilo, pero se vuelve importante cuando se habla de la distancia del hilo y el teletransporte.

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El Campo Rzewski

El campo Rzewski fue nombrado por el Dr. Carlos Rzewski, quien ganó la medalla de Dirac del FTPI por este descubrimiento en 1975.

Para comprender correctamente las relaciones entre los hilos individuales, también necesitamos introducir el campo Rzewski, uno de los campos fundamentales del universo. (Tenga en cuenta que en algunos contextos también puede denominarse el campo de subespacio). El campo Rzewski define un valor único asociado con cada punto en el espacio-tiempo en cada subproceso. Se cree que es la razón subyacente de que hay puntos en el espacio-tiempo que son distintos entre sí, en lugar de tener un universo que contiene un solo punto. Esto es también lo que hace que los distintos hilos sean distintos entre sí y, lo que es más importante, para fines prácticos, se puede medir para determinar directamente qué tan similares son dos hilos entre sí.

Hay varias formas diferentes de medir esto, pero una de las más comunes y útiles es la distancia del hilo, medida en humes. En tus otros cursos, es posible que ya hayas encontrado humes, al medir qué tan "anómalo" está algo con un contador Kant o un dispositivo similar. En el viaje en el tiempo, utilizamos una herramienta diferente, el medidor de divergencias. En lugar de compararlo con un conjunto de dimensiones de bolsillo fijas, un medidor de divergencias permite medir la distancia del hilo directamente en relación con otros hilos, y generalmente es mucho más sensible.

Tenga en cuenta que la distancia del hilo no nos dice directamente qué es diferente entre dos hilos, pero sí nos dice qué tan diferentes son los hilos, y se puede usar para ayudar a encontrar dónde pueden haber ocurrido cambios importantes.

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Propiedades Algebraicas de la Distancia del Hilo

La distancia del hilo, anotada $d(A,B)$ para cualquier hilo dado A, B, nos permite definir un espacio métrico e induce una topología que nos permite razonar sobre el espacio del hilo. Si bien los detalles precisos del campo de Rizewski son muy importantes para la causalidad teórica, por razones prácticas no debemos preocuparnos por ello, excepto por algunos conceptos básicos.

Dado que la distancia del hilo es una métrica, tenemos las siguientes propiedades:

  • $d(A,B)\in\Bbb R$ — La distancia del hilo es un número real.
  • $d(A,B)\ge0$ — La distancia del hilo no es negativa.
  • $d(A,A)=0$ — La distancia del hilo desde un hilo a sí misma es cero.
  • $d(A,B)=d(B,A)$ — La distancia del hilo es reflexiva; Es lo mismo medido en cualquier dirección.
  • $d(A,B)\le d(A,C) + d(B,C)$ — La distancia del hilo obedece a la desigualdad del triángulo; la suma de distancias a un tercer hilo será al menos tan grande como la distancia directa entre dos hilos. (es decir, no hay "atajos".)

Estas propiedades son importantes porque nos permite usar herramientas analíticas para razonar sobre el espacio de hilos y, en particular, nos permite definir el concepto de potencial de subprocesos, que se analiza en la sección 3.5.

Ejercicios

  1. Dado que $d(K, Q) = 1.5\,\ mathrm{Hm}$ y que $d(T,Q) = 7.0\,\mathrm{Hm}$, ¿cuál es el valor máximo posible para $d(K,T)$?
  2. Avanzado Siendo $f(\vec x) = d(E+\vec x, E)$. Demuestre que $\nabla\times\nabla f(\vec x)=0$.

Convergencia de Hilos y Ciclos de Tiempo

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Un ejemplo de una secuencia de hilos proyectada en 2D que converge a una línea mundial.

En el capítulo 2, discutimos los bucles de tiempo en términos de líneas mundiales, como si cada iteración del bucle fuera exactamente idéntica a la anterior. En la práctica, cada iteración de una línea mundial tendrá inevitablemente al menos una pequeña diferencia, derivada del teorema de Bell y del hecho de que es imposible observar algo sin cambiar su estado. Como resultado, tiene más sentido hablar de las líneas del mundo como los límites de la iteración de bucle.

Dado un bucle de tiempo con una secuencia de hilos $A^{(1)}, B^{(1)}, A^{(2)}, B^{(2)} ...$, entonces si podemos dividir esta secuencia en solo muchas secuencias de Cauchy convergentes, es posible definir nuestras líneas mundiales como los límites de esas secuencias. En nuestro ejemplo, si $A^{(1)}, A^{(2)} ...$ y $B^{(1)}, B^{(2)} ...$ son ​​ambas secuencias de Cauchy, entonces podemos referirnos a $A = \lim_{n\to\infty} A^{(n)}$ y $B = \lim_{n\to\infty} B^{(n)}$ como líneas mundiales. En otros términos, si después de un número arbitrario de veces alrededor del bucle, se vuelve arbitrariamente difícil distinguir entre $A^{(n)}$ y $A^{(n+1)}$, entonces todavía tiene sentido considerarlos como líneas mundiales.

Sin embargo, en algunos casos no es posible dividir una secuencia de hilos de esta manera, y cualquier secuencia de este tipo convergerá a un conjunto de curvas cerradas o variedades de orden superior en el espacio de hilos. Estas variedades mundiales a veces todavía se pueden considerar de manera similar a las líneas mundiales, pero los sistemas que contienen variedades mundiales en general no se pueden resolver utilizando técnicas algebraicas. Algunos métodos para resolver estos sistemas más difíciles se presentan en el capítulo 4.

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Potencial del Hilo

Otra propiedad importante de la distancia del hilo es la forma en que varía con el tiempo y el espacio. En particular, es continuamente diferenciable, y "en el infinito" es idénticamente cero. Es decir:

(1)
\begin{align} \lim_{|\vec x|\to\infty} d(A+\vec x,B+\vec x)=0 \end{align}

El potencial del hilo para el evento representado por la curva superior (azul) es 5 veces la curva inferior (rojo), lo que significa que solo es 1/5th más probable.

Medir las distancias de los hilos entre hilos separados es útil para determinar qué tan similares son y para razonar sobre la convergencia. Sin embargo, y de alguna manera aún más importante, también podemos medir la distancia del hilo entre los puntos que solo están separados por el espacio y el tiempo. Hacer esto hace posible definir un campo potencial basado en la distancia del hilo 'hasta el infinito', llamado potencial del hilo y anotado $\nabla^2 d(E)$, con algunas propiedades extremadamente útiles.

(2)
\begin{align} \nabla^2 d(E) = \nabla \cdot \nabla d(E+\vec x, \infty) \end{align}

Esta cantidad resulta ser enormemente importante en capítulos posteriores, porque nos permite relacionar directamente las probabilidades de diferentes eventos entre sí:

(3)
\begin{align} \nabla^2 d(E_1)\, P(E_1) = \nabla^2 d(E_2)\, P(E_2) \end{align}

La proporción de las probabilidades de dos eventos es también uno de los principales factores determinantes al estimar qué tan fácil o difícil sería cambiar esos eventos a través del viaje en el tiempo. También nos permite ubicar y mapear eventos cercanos que serán susceptibles a modificaciones, siguiendo el gradiente del potencial del hilo hasta su punto máximo.

Ejemplo 1

Medimos el potencial del hilo de algún evento $E$ para ser:

(4)
\begin{align} \nabla^2d(E)=1 \end{align}

Después de modificar el pasado para que $E'$ ocurra, deseamos revertir el cambio a $E$. Desafortunadamente, cuando medimos el potencial del hilo:

(5)
\begin{align} \nabla^2d(E')=0.1 \end{align}

Cálculamos las probabilidades relativas:

(6)
\begin{align} \frac{P(E)}{P(E')} = \frac{\nabla^2d(E')}{\nabla^2d(E)} = \frac{0.1}{1} = 0.1 \end{align}

Dado que $E$ es solo 1/10 de la probabilidad de $E'$, será mucho más difícil volver a $E$ de lo que era originalmente para $E'$.

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