Capítulo 2: Bucles Temporales
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En el primer capítulo, discutimos el viaje en el tiempo en términos mayormente informales, para ayudar a introducir el tema y dar una idea sobre el viaje en el tiempo. Este capítulo continúa esto, con técnicas informales adicionales para analizar los bucles de tiempo. En el siguiente capítulo presentaremos un enfoque más formal, pero por el momento es más importante que el lector obtenga primero una comprensión más práctica.

La Paradoja de Bootstrap

Para comprender cómo funcionan los bucles de tiempo, es necesario introducir una noción de "conexión" entre las líneas mundiales. Si bien actualmente, cada línea mundial conocida es, de una forma u otra, accesible desde cualquier otra línea mundial conocida, se teoriza que en el universo primordial, puede haber líneas mundiales adicionales que conduzcan al conjunto actual, pero sin ningún retroceso. Estas líneas mundiales teóricas adicionales, si bien no son observables, son muy importantes para explicar la paradoja bootstrap y para predecir qué tipos de bucles de tiempo es probable que se hayan formado.

Como ejemplo, considere este bucle:

La línea superior aquí es la línea espuria que arranca el bucle de tiempo. Aunque no recibe un mensaje, espontáneamente decide transmitir el mensaje $M$ al pasado. El pasado recibe este mensaje, y luego también transmite el mismo mensaje $M$ al pasado, formando un bucle de tiempo.

En algunos casos, puede haber más de una línea mundial espúrea potencial que podría haber conducido a un bucle dado. Por ejemplo, tome este bucle de segundo orden:

(Tenga en cuenta que los desplazamientos de reacción se han omitido en este diagrama para simplificarlo).

En este caso, las líneas principales del mundo $B$ y $B'$ transmiten mensajes mutuamente exclusivos $M$ y $M'$, cada uno de los cuales incita al otro para enviar su mensaje. En este caso, la situación podría haber sido iniciada por $A$ o $A'$.

Esto se puede generalizar fácilmente a un número arbitrario de casos:

Cada línea mundial $B_k$ transmite un mensaje distinto $M_{k+1}$ que luego solicita $B_{k+1}$ para enviar su propio $M_{k+2}$, hasta $B_n$, que transmite de nuevo $M_1$, lo que hace que el ciclo se repita. En este caso, el punto de entrada podría haber sido cualquiera de estos, según el mensaje $A$ transmitido inicialmente.

Ejercicios

  1. Dibuje un diagrama de línea de tiempo completo para un ciclo de tiempo periódico básico de cuarto-orden.
  2. Avanzado En algunos casos, una línea mundial dada puede ser parte de un bucle de tiempo más de una vez. Dibuje un diagrama de línea de tiempo para un bucle en el que la línea mundial $C$ envíe y reciba mensajes de $B_1$ y $B_2$, sin ninguna comunicación directa entre $B_1$ y $B_2$.

Estimación de la Estructura de un Bucle

En muchos casos, es posible que solo se puedan observar algunas partes de un bucle de tiempo. Pero incluso en estos casos, aún puede ser posible inferir parte o la totalidad de la estructura del bucle a partir de la porción que puede observar, tratando la estructura potencial como si fuera una cadena de Markov y resolviendo la matriz estocástica correspondiente.

Por ejemplo, tome un caso donde cada línea mundial está enviando y recibiendo un mensaje que es $M_1$, $M_2$ o $M_3$. Antes de recibir su mensaje, lanzan una moneda. Si sale cara, agregarán 1 al mensaje y lo enviarán, a menos que sea $M_3$, en cuyo caso simplemente enviarán $M_3$. Sin embargo, si se trata de colas, tiran el mensaje y simplemente envían $M_1$. ¿Cuál es la probabilidad de recibir cada uno de estos mensajes?

Si diagramamos todas las posibles transiciones en nuestra línea de tiempo, obtendremos el diagrama de arriba. Esto se puede escribir como una matriz estocástica:

(1)
\begin{align} B = \begin{bmatrix}B_1&B_2&B_3\end{bmatrix} = B\;\begin{bmatrix}0.5 & 0.5 & 0 \\ 0.5 & 0 & 0.5 \\ 0.5 & 0 & 0.5\end{bmatrix} \end{align}

Esto podría resolverse algebraicamente, pero en este caso es más fácil simplemente simularlo, en este caso converge después de solo dos iteraciones. Las probabilidades asintóticas resultantes son 0.5 para $M_1$, y 0.25 para $M_2$ y $M_3$.

Ejercicios

  1. Generalizar el problema de ejemplo a cinco mensajes. Dibuje el diagrama de línea de tiempo completo y calcule la probabilidad de recibir cada mensaje.
  2. Avanzado Resuelva el bucle de tiempo en el ejercicio 2.1 2. Debido a la forma en que la línea mundial $C$ participa en el bucle varias veces, esto debería afectar su probabilidad de manera diferente que en un bucle simple.

El Problema de la Loteria

Ahora estamos equipados para entender el problema de la lotería presentado al comienzo del Capítulo 1, y entender por qué, como afirmamos, es un poco más probable que gane que por adivinar al azar.

Recibes un número de lotería ganador del futuro. ¿Cuál es la probabilidad de ganar la lotería usando ese número?

En primer lugar, información básica sobre las loterías:
Los métodos de selección utilizados por las loterías modernas son extremadamente sensibles incluso a cambios muy pequeños, y el hecho de transmitir el mensaje al pasado muy probablemente destruirá cualquier correlación entre el número dibujado en las líneas mundiales de transmisión y recepción. Sin embargo, el teorema de valor intermedio del cálculo garantiza que al menos hay un mensaje que, si se transmite, terminaría siendo correcto. Es posible que el mensaje deba incluir algunos datos aleatorios adicionales junto con el número, pero por el bien del argumento, funciona para asumir que no es necesario en nuestro caso.

Debido a que es imposible determinar de antemano el mensaje exacto que debe enviarse, la mejor estrategia posible que pueden tomar las líneas espurias es la fuerza bruta, donde cada mensaje posible se envía por turno hasta que funciona. Luego, una vez que tengamos el mensaje de trabajo, cada iteración posterior puede retransmitir ese mismo mensaje.

Sin embargo, cada vez, también existe una probabilidad no nula de que pueda fallar para transmitir el siguiente mensaje correctamente, ya sea un error de transcripción, un error aleatorio del software o cualquier otra cosa. Debido a la cantidad de pasos que probablemente tendrá que tomar para llegar al número de lotería correcto, esta probabilidad de fracaso se acumula y se complica, ya que solo necesita fallar una vez para evitar alcanzar el número correcto. Y dado que la posibilidad de no cometer errores en los miles de millones o billones de iteraciones requeridas para converger al número correcto, usar el número recibido del futuro solo le da una ventaja muy leve sobre las adivinanzas aleatorias.

Ejercicios

  1. Suponiendo 100 pasos y una probabilidad del 1% de cometer un error que se reinicia en el paso 1, calcule el valor esperado para la longitud del bucle y encuentre la probabilidad de alcanzar el paso 100.
  2. Avanzado Derive la ecuación general que describe la probabilidad de alcanzar el paso $n$ dada una probabilidad de falla uniforme $p$ en cada paso.

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